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Emploi du temps

Transparents des cours et sujets de TP

Analyse topologique de données (Frédéric Chazal et Marc Glisse, Inria Saclay équipe DataShape)

L’analyse topologique des données est un domaine récent et en plein essor dont l'objet est de comprendre et d'exploiter les structures topologiques et géométriques sous-jacentes aux données complexes et/ou de grande dimension. La première partie du cours sera consacrée à la présentation de la problématique de l’analyse topologique de données et aux outils théoriques et algorithmiques développés dans les quinze dernières années pour y répondre (fonction distance, théorie de la persistance topologique). Une seconde partie évoquera les aspects statistiques de l’analyse topologique de données, en lien avec le choix des paramètres (souvent de nature géométrique) dans les méthodes, avec le calcul de moyennes dans l’espace des diagrammes de persistance, etc. Le cours sera conclu par une présentation de la bibliothèque de calcul topologique GUHDI et de son interface Python.


Anatomie computationnelle (Stéphanie Allassonière, MAP5, Université Paris-Descartes / Jean Feydy, CMLA, ENS Paris-Saclay)

L’objectif de l’anatomie computationnelle est de caractériser la variabilité des formes (ou des images) d’organes. Un des objectifs est de pouvoir trouver des corrélations entre la forme d’un organe et un diagnostique clinique, ou bien des paramètres physiologiques ou génétiques. Ce cours présentera les outils mathématiques nécessaires, et en particulier le cadre des modèles déformables. Dans ce cadre, on suppose que les formes d’organes provenant d’un groupe d’individus donné (en termes d’âge, de sexe ou de maladie) sont proches les unes des autres dans une certaine classe de déformation. On présentera ensuite le problème du recalage, qui consiste à chercher une déformation « optimale » transformant une forme en une autre, et quelques techniques développées pour le résoudre. On se concentrera ensuite sur le modèle LDDMM (large deformation diffeomorphic metric mapping), qui est mathématiquement bien posé et permet de considérer des problèmes de recalage entre points d’intérêt, courbes, surfaces et images dans un même cadre. La dernière partie du cours portera sur les questions statistiques qui apparaissent lorsqu’on veut comparer une population d’images ou de formes. La question principale est de définir une notion de moyenne ou de déviation à cette population.


Méthode d’évolution de front et fast marching (Jean-Marie Mirebeau, LMO, Université Paris-Sud  et CNRS / Da Chen, CEREMADE, Université Paris-Dauphine) 

Cette session portera sur les méthodes d'évolution de fronts, utilisées notamment pour la segmentation de régions et de structures tubulaires dans les images médicales. Une attention particulière sera portée à la méthode du fast marching, adaptée au cas où le front est constitué des points à une distance donnée d'un objet, qui est intéressante par sa rapidité et ses récents développements.
On commencera par le formalisme des surfaces de niveau (level set), qui consiste à représenter implicitement un front comme les points d'annulation d'une fonction. Cette approche permet de s'affranchir des difficultés liées aux changements de topologie du front, et de transcrire la loi d'évolution du front en une équation aux dérivées partielles (EDP) satisfaite par la fonction, plus facile à implémenter via un schéma numérique adéquat. Pour certaines lois simples, dépendant seulement de la position et de l'orientation du front, l'évolution du front peut être décrite par la théorie du contrôle optimal:  c'est l'ensemble des points pouvant être rejoints depuis une certaine source par un chemin de longueur donnée. Cette longueur est mesurée via une métrique qui peut être euclidienne ou plus généralement Riemannienne, Finslerienne, ou dégénérée - pour des modèles sous-Riemanniens ou non-holonomes. La liberté de choix est grande et dépend des contextes applicatifs, que nous verrons en TP.

Méthodes variationnelles pour l’imagerie (Caroline Chaux et Sandrine Anthoine, I2M, Aix-Marseille Université/CNRS)

Ce cours portera sur la résolution de problèmes inverses en imagerie, i.e. sur les méthodes permettant de retrouver un object d'intérêt à partir d'une observation dégradée de celui-ci. Dans un premier temps, nous nous intéresserons au problème direct qui associe à l'objet d'intérêt une observation. Ce modèle généralement inclus une transformation linéaire (e.g. convolution, transformée de Radon) et du bruit non nécessairement additif. Nous nous intéresserons dans un second temps à la résolution du problème inverse. Pour y parvenir, nous formulerons le problème sous forme variationnelle c'est à dire sous la forme d'un critère à minimiser, la solution duquel étant l'objet recherché. Nous verrons 1) comment construire ce critère à partir du modèle direct et d'informations a priori sur l'objet recherché et 2) comment résoudre le problème d'optimisation ainsi défini. Des travaux pratiques seront réalisés en Python, afin de construire des observations et de mettre en oeuvre quelques méthodes directes ou itératives de résolution.

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